13 juin 2021, 07:02
@Flo-Flo , bonjour,
Tout d'abord quelques propriétés relatives aux tangentes qui seront utiles dans les calculs.
Toute tangente est perpendiculaire au rayon issu du point de contact.
(OT)⊥(TA)(OT) \perp (TA)(OT)⊥(TA)
(OT′)⊥(T′A)(OT')\perp (T'A)(OT′)⊥(T′A)
(OT′′)⊥(BC)(OT'')\perp(BC)(OT′′)⊥(BC)
Tu peux compléter le schéma en traçant (OA),(OB),(OC)(OA),(OB),(OC)(OA),(OB),(OC).
Les points TTT et T′′T''T′′ sont symétriques par rapport à (OB(OB(OB)
Les points T′T'T′ et T′′T''T′′ sont symétriques par rapport à (OC(OC(OC)
Les points TTT et T′T'T′ sont symétriques par rapport à (OA(OA(OA)
D'où les égalités :
BT=BT′′BT=BT''BT=BT′′, CT′=CT′′CT'=CT''CT′=CT′′, AT=AT′AT=AT'AT=AT′
CALCULS
AB=AT−TB=AT−BT′′AB=AT-TB=AT-BT''AB=AT−TB=AT−BT′′
AC=AT′−T′C=AT−CT′′AC=AT'-T'C=AT-CT''AC=AT′−T′C=AT−CT′′
En ajoutant membre à membre ces deux égalités :
AB+AC=AT−BT′′+AT−CT′′=2AT−(BT′′+CT′′)AB+AC=AT-BT''+AT-CT''=2AT-(BT''+CT'')AB+AC=AT−BT′′+AT−CT′′=2AT−(BT′′+CT′′)
Donc :
AB+AC=2AT−BCAB+AC=2AT-BCAB+AC=2AT−BC
En transposant BCBCBC dans le membre de gauche :
AB+AC+BC=2AT\boxed{AB+AC+BC=2AT}AB+AC+BC=2AT
Le périmètre du triangle ABCABCABC vaut donc 2AT2AT2AT
Remarque : Pour un oral, tout dépend du temps de la recherche...
Je trouve que cet exercice, même si les calculs sont très simples, n'est pas si simple que ça, car il faut le temps pour trouver la stratégie utile.
